, siendo 
y 
polinomios. En primer lugar, supondremos el grado de es menor que el de , si no fuera así se dividiría.
es el cociente y 
el resto de la división polinómica.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos podemos encontrar con diferentes casos, los cuales podemos consultar en la siguiente pagina.
Aquí abordaremos el tercer caso, que es cuando el denominador tiene raíces complejas y simples.
El denominador tiene raíces complejas simples
En este caso tenemos factores de la forma:
La fracción 
puede escribirse así:
donde 
y 
son números a determinar.
Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente. A continuación veremos un par de ejemplos para ilustrar esta clase de integrales.
Ejemplos de integrales racionales tipo 3
1
Como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores
Efectuamos la suma
Puesto que las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores son iguales:
Igualamos los coeficientes de los dos miembros.
entonces
La primera integral es de tipo logariítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente.
Multiplicamos por 2 en la segunda integral para ir preparándola y proseguimos.
La integral que nos queda es de tipo arcotangente. Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado:
Multiplicamos numerador y denominador por 
, para convertir el 
del denominador en uno y para el caso del binomio al cuadrado tendremos que multiplicar dentro del binomio al cuadrado por la raíz cuadrada de .
es decir
2
Sumamos y restamos 
en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común .
Multiplicamos y dividimos en la primera fracción por 2
Para la integral faltante Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado:
entonces
Realizamos un cambio de variable
por lo que queda
Por tanto
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en el ejercicio 26 el resultado no se ve bien, como quedaria?
Disculpa pero no hay ejercicio 26, solo llega al 20.
estan la mitad de los ejercicios incorrectos, revisarlos por favor
Podrías indicarnos que ejercicios están mal, pues ya revise y no encontre los errores.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips