Integrales racionales III

3º El denominador tiene raíces complejas simples

Q

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo I

integral

fracciones

operaciones

operaciones

Igualamos los coeficientes de los dos miembros.

operaciones

integral

La primera integral es de tipo logariítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente.

Multiplicamos por 2 en la segunda integral para ir preparádola.

integral

El 2 del numerador de segunda integral lo tranformamos en 1 + 1.

integral

Descomponemos la segunda integral en otras dos.

operaciones

operaciones

Las dos primeras integrales son de tipo logarítmico.

operaciones

La integral que nos queda es de tipo arcotangente.

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

solución

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

solución

solución

solución

operaciones

operaciones

Ejemplo II

integral

Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común 3.

integral

Multiplicamos y dividimos en la primera fracción por 2.

integral

integral

integral

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

descomposición

integral

Realizamos un cambio de variable.

cambio de variable

integral

solución