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Definición de integrales de funciones racionales
En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral , siendo y polinomios.
En primer lugar, supondremos el grado de es menor que el de , si no fuera así se dividiría.
es el cociente y el resto de la división polinómica.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:
El denominador tiene sólo raíces reales simples
Tener raíces significa tener factores lineales que no se repiten, es decir,
La fracción puede escribirse así:
y son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a .
Ejemplo
Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Calculamos los coeficientes de y dando a la los valores que anulan al denominador.
Se calculan las integrales de las fracciones simples:
Haciendo cambios de variables respectivamente , y , para finalmente aplicar la integral inmediata
Otra forma de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.
Igualamos coeficientes:
Resolviendo el sistema encontramos el valor de , sustituyendolo en las primeras dos ecuaciones tenemos:
Para finalmente, encontrar los valores y .
El denominador tiene raíces reales simples y con repetición
En este caso podríamos tener factores de la siguiente forma:
La fracción puede escribirse así:
y son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a .
Ejemplo
Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Calculamos los coeficientes de y realizando las operaciones e igualando coeficientes.
Igualamos coeficientes:
Resolviendo el sistema encontramos el valor de , sustituyendolo en la segunda ecuación tenemos:
Para finalmente, encontrar el valor de C:
.
Se calculan las integrales de las fracciones:
La 1er integral es una integral de potencias y haciendo cambios de variables respectivamente para la 2da y 3er integral y , para finalmente aplicar las integrales inmediatas
El denominador tiene raíces complejas y simples
En este caso tenemos factores de la forma:
La fracción puede escribirse así:
y son números a determinar.
Ejemplo
Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Calculamos los coeficientes de y realizando las operaciones e igualando coeficientes.
Igualamos coeficientes:
Resolviendo el sistema encontramos el valor de y , sustituyendo el valor de A en la primera ecuación tenemos:
Se calculan las integrales de las fracciones:
Haciendo cambios de variables respectivamente y , para finalmente aplicar la integral inmediata
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
en el ejercicio 26 el resultado no se ve bien, como quedaria?
Disculpa pero no hay ejercicio 26, solo llega al 20.
estan la mitad de los ejercicios incorrectos, revisarlos por favor
Podrías indicarnos que ejercicios están mal, pues ya revise y no encontre los errores.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips