Integrales racionales I

En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral integral racional, siendo P(x) y Q(x) polinomios.

En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.

integral de la división

C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:

1º El denominador tiene sólo raíces reales simples

descomposición polinómica

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

integral racional

descomposición

Se efectúa la suma:

suma polinómica

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

igualdad

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

A

B

C

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

integral

solución


Otra forna de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.

multiplicaciones

Igualamos coeficientes:

igualación de coeficientes