Fórmula de la integración por partes
Introducción
A diferencia de las derivadas, no existe una fórmula para poder integrar cualquier producto de funciones.
Lo más cercano que tenemos a una regla para integrar producto de funciones es la integración por partes. Curiosamente, se basa en la fórmula para derivar un producto de funciones.
Sin embargo, la integración por partes transforma una integral de un producto en otra integral. Esta fórmula no funciona para integrar todos los productos de funciones
La fórmula de la integración por partes es
Observemos que tenemos que derivar 
e integrar 
, por lo que será conveniente que la integral de sea sencilla.
En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como . Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como .
Deducción de la fórmula
Supongamos que tenemos las funciones 
y 
. Entonces su derivada está dada por
Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos
Luego, si pasamos 
al lado izquierdo, obtenemos
que es la fórmula que buscábamos
Ejercicios propuestos
1 
Tenemos un producto entre la función 
y 
. Como se mencionó anteriormente, en este tipo de casos se elige 
y 
.
Derivamos :
Integramos 
:
De manera que la integral nos queda
Así,
2 
Tenemos un producto entre la función 
y . En este tipo de casos se elige y 
.
Derivamos :
Integramos :
De manera que la integral nos queda
Así,
3 
Tenemos un producto entre la función 
y 
. En general, ambas funciones se suelen tomar como ; sin embargo, en este tipo de casos el logaritmo toma preferencia y se elige 
y 
.
Derivamos (este es el motivo por el que elegimos al logaritmo):
Integramos :
De manera que la integral nos queda
Así,
4 
Tenemos un producto entre la función y 
. De nuevo, en este tipo de casos se elige y 
(la función logaritmo siempre se elige como ).
Derivamos :
Integramos :
De manera que la integral nos queda
Así,
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en el ejercicio 26 el resultado no se ve bien, como quedaria?
Disculpa pero no hay ejercicio 26, solo llega al 20.
estan la mitad de los ejercicios incorrectos, revisarlos por favor
Podrías indicarnos que ejercicios están mal, pues ya revise y no encontre los errores.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips