Teorema de la media para integrales

Podemos rastrear el origen del Teorema del valor medio o de la media al siglo III a.C, donde Arquímedes de Siracusa demuestra rigurosamente que el área de un segmento parabólico es igual a cuatro tercios del área de un triángulo con misma base y misma altura. A partir de aquí podemos encontrar muchas versiones del Teorema de la media, tales como teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio.En el caso particular del Teorema de la media para integrales, dada una función deseamos calcular su valor promedio en un intervalo . El valor promedio de se define como el siguiente valor

donde es un punto en el subintervalo de de tamaño . El valor es equivalente a la suma de Riemann de en , por lo tanto al hacer tender al infinito podemos concluir que el siguiente enunciado para el Teorema de la media en términos de la integral

Si una función es continua en un intervalo cerrado , existe un punto en el interior del intervalo tal que:

De la imagen podemos notar que el valor del área de bajo la curva descrita por la función es igual a la longitud del intervalo multiplicado por cierto valor medio de la función .

Ejemplos

1

Hallar el valor de , del teorema de la media, de la función en el intervalo .

Como la función es continua en el intervalo , se puede aplicar el teorema de la media.

Primero calculamos el valor de la integral

Ahora despejamos el valor de ,

Finalmente despejamos el valor de

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

2
¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo ?

Como la función es continua en , se puede aplicar el teorema de la media.

Primero calculamos el valor de la integral

Ahora despejamos el valor de ,

Finalmente despejamos el valor de