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Vamos

¿Qué representa la integral definida y cómo la calculamos?

 

Recordemos que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integral definida se puede calcular utilizando

 

 

donde es cualquier antiderivada de (o primitiva).

 

Además, recordemos que la integral definida mide el área debajo de la curva de entre los puntos y , tal y como se aprecia en la siguiente figura:

 

area bajo la curva

 

Ejercicios propuestos

 

Resuelve las siguientes integrales definidas:

 

1

 

La primera integral la podemos resolver con la fórmula para integrar una potencia. Notemos primero que

 

 

Por lo que podemos utilizar la fórmula

 

 

con el cambio de variable y (notemos que en integrales definidas no es necesaria la constante de integración). De esta manera, obtenemos,

 

 

Es decir,

 

 

2

 

Al igual que en el caso anterior, esta integral la resolvemos con la fórmula de la integral de una potencia:

 

 

simplificamos un poco,

 

 

Y evaluamos en los límites de la integral:

 

 

3

 

Esta integral se resuelve con un cambio de variable. Notemos que dentro de la raíz tenemos . Si derivamos, tenemos ; que al despejar , nos da

 

 

Además, como haremos cambio de variable, también debemos cambiar los límites de la integral. En particular,

 

 

Por lo tanto, la integral se conviete en

 

 

Ahora resolvemos la integral utilizando la fórmula de la integral de una potencia:

 

 

4

 

Al igual que en el caso anterior, hacemos el siguiente cambio de variable

 

 

donde, al derivar, tenemos . Por tanto, al despejar (ya que es lo que tenemos dentro del integrando), obtenemos

 

 

Ahora obtenemos los nuevos límites:

 

 

Por tanto, la integral se convierte en

 

 

Integramos con la fórmula de la integral de una potencia:

 

 

5

 

Esta integral se resuelve muy rápido si recordamos que

 

 

Por lo que la integral se resuelve de inmediato:

 

 

Recordemos que y (recordar esos valores es útil cuando deseamos encontrar los valores de la arco-tangente).

 

6

 

Para resolver esta integral necesitamos una identidad trigonométrica. En particular, como tenemos a elevado a una potencia par (2 en este caso), entonces necesitamos de alguna potencia que reduzca hasta alguna potencia impar. Esta la podemos obtener a partir de la identidad del ángulo doble para coseno:

 

 

que, al despejar , obtenemos

 

 

De esta forma, la integral se convierte en

 

 

La cual ya se puede integrar de una forma más sencilla:

 

 

7

 

Es un poco complicado encontrar —por medio de prueba y error— alguna función tal que ). Por este motivo, es mejor transformar a la utilizando una identidad pitagórica. Es decir,

 

 

Por lo que . Así, la integral se convierte en

 

 

Como

 

 

entonces la integral la podemos resolver de inmediato:

 

 

8

 

Para esta integral no necesitamos utilizar ninguna identidad trigonométrica, ya que ni ni se encuentran elevados a alguna potencia. Por lo tanto, podemos tomar

 

 

Por lo tanto,

 

 

Observa que el cambio de variable no es biyectivo (uno-a-uno) en el dominio. Por lo tanto, será necesario regresar a la variable original antes de evaluar:

 

 

Calculamos la antiderivada:

 

 

Regresamos a la variable anterior:

 

 

Ahora evaluamos en los límites de la integral:

 

 

Que es el resultado que buscábamos.

 

Nota: si hubieramos tomado también habríamos podido calcular la intergral sencillamente.

 

9

 

Observa que en esta integral también tenemos un cambio de variable. En particular,

 

 

de donde se sigue que . Por tanto,

 

 

Además,

 

 

Por tanto, la integral se convierte en

 

 

Que al resolver y evaluar, obtenemos,

 

 

10

 

Aunque no se vea inmediatamente, esta integral también se puede resolver con un cambio de variable (notemos que no todas las integrales se resuelven con cambio de variable). Tomemos,

 

 

Por lo que

 

 

Luego, los límites se transforman en

 

 

Por tanto, la integral se transforma en

 

 

Así, resolviendo la integral y evaluando en los límites, tenemos,

 

 

Que es lo más que podríamos simplificar.

 

11

 

En esta integral tenemos una potencia impar de . Necesitamos hacer un cambio de variable, donde será parte del diferencial de la nueva variable. Por tanto, separamos de la siguiente manera:

 

 

ahora utilizamos la identidad pitagórica para obtener

 

 

Podemos tomar el cambio de variable , por lo que , así

 

 

Además, el cambio de variable sí es inyectivo en el intervalo de integración, por lo tanto:

 

 

De este modo, la integral se convierte en

 

 

Al resolver la integral, obtenemos

 

 

12

 

Aquí podemos ver de inmediato que tenemos un cambio de variable. Tomamos

 

 

por lo que . De este modo, la integral se vuelve

 

 

Que al integrar, se vuelve

 

 

Regresamos a la variable anterior y evaluamos en los límites:

 

 

13

 

Esta integral se resuelve por integración por partes. Primero resolvemos la integral sin preocuparnos por los límites y después evaluamos:

 

 

Como tenemos un polinomio multiplicando a , tomaremos y . De este modo

 

 

Por tanto, la integral es ahora

 

 

Volvemos a repetir el procedimiento, ahora con

 

 

donde tomamos y . Aquí tenemos:

 

 

por lo tanto, esta seguna integral se vuelve

 

 

Sustituyendo en la integral original, tenemos

 

 

Ahora que tenemos la integral indefinida, evaluamos en los límites de integración:

 

 

14

 

Resolver integrales con funciones trigonométricas es un poco más complicado. Por lo regular, intentamos algún cambio de variable como

 

 

(aunque no siempre funciona). Despejando , tenemos . Por tanto,

 

 

De aquí se sigue que

 

 

Esta integral también se resuelve por partes. Tomamos primero y , por tanto

 

 

Y la integral se vuelve

 

 

Ahora tomamos y , así,

 

 

Con esto, la integral es

 

 

Podemos regresar a la variable interior o podemos cambiar los límites de la integral. Optamos por la segunda opción:

 

 

De este modo, la integral es

 

 

15

 

Por último, esta integral la resolveremos con un cambio de variable para deshacernos del radical. Tomamos , de este modo

 

 

donde tomamos a . De este modo, y

 

 

Por tanto, la integral se vuelve

 

 

Notemos que debemos transformar el integrando un poco. Observemos que

 

 

Así, tenemos

 

 

Que es el resultado de la integral.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗