En este artículo repasaremos brevemente el procedimiento para integrar por medio del método de sustitución y, además, resolveremos ejercicios utilizando este método.
Introducción al método de sustitución
Antes de entrar a la integración por método de sustición tenemos que volver un poco atrás y recordar la derivación por el método de regla de cadena. Recordemos que la derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una composición de funciones.
Si tenemos una función compuesta de la forma
entonces su derivada, respecto a 
está dada por
o en notación con diferenciales
entonces, siguiente el proceso inverso, tenemos que la antiderivada de 
respecto a está dada por
esto quiere decir que
Pasos del método de sustitución
Dada la función 
, el método consiste en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable 
, de modo que obtengamos una integral más sencilla.
1 Primero intentamos definir como una composición de la forma 
.
2 Consigamos el diferencial de . Notemos que al diferenciar 
respecto a tenemos que
3 Escribamos la integral en términos de
4 Si la integral sobre 
es más sencilla, procemos a integrar
5 Regresamos a la variable inicial
Ejercicios
1 Resuelve la siguiente integral
Como indican los pasos, hagamos cambio de variable
notemos que de aquí también tenemos que 
. Sustituyamos en la integral
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , integremos
Regresemos a nuestra variable original
2 Resuelve la siguiente integral
Como indican los pasos, hagamos cambio de variable
diferenciando obtenemos
Sustituyamos en la integral obtenemos
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , por lo tanto integramos
Regresemos a nuestra variable original
3 Resuelve la siguiente integral
Como indica los pasos, hagamos cambio de variable
Encontremos los diferenciales, para esto aplicaremos logaritmo primero y luego diferenciamos
Sustituyamos en la integral
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , integremos
Regresemos a nuestra variable original
4 Resuelve la siguiente integral
Como indica los pasos, hagamos cambio de variable
Encontremos los diferenciales, para esto aplicaremos logaritmo primero y luego diferenciamos
Notemos que la última igualdad se da porque 
. Sustituyamos en la integral
Aplicando fracciones parciales, tenemos que
de donde se sigue el siguiente sistema de ecuaciones
cuya solución es
así nuestra integral en términos de sería
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , integremos
Regresemos a nuestra variable original
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en el ejercicio 26 el resultado no se ve bien, como quedaria?
Disculpa pero no hay ejercicio 26, solo llega al 20.
estan la mitad de los ejercicios incorrectos, revisarlos por favor
Podrías indicarnos que ejercicios están mal, pues ya revise y no encontre los errores.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips