Recordando la integral del seno
Recordemos que la derivada de la función es , esto nos dice directamente que la derivada de es . Ahora, la integral indefinida es considera la operación inversa a integrar, por lo tanto, se sigue que la integral de debe de ser , sin embargo, recordemos que la derivada de cualquier constante es cero, así que también se tiene que la derivada de también es , así, la antiderivada o integral de es, en realidad, , en otras palabras
También debemos de recordar la regla de la cadena, de donde se sigue que la derivada de es , así, también se sigue que
Ejercicios de integración de la función seno
Para estos ejercicios tendremos en cuenta que ya se conocen las propiedades básicas de integrales y que se tiene conocimiento de resolución de integrales por sustitución, por partes, etc. En caso de no recordar estos métodos te invitamos a ver nuestros artículos donde los explicamos.
1
Integraremos directamente
2
Integraremos por el método de sustitución.
Tomaremos
Sustituyendo en la integral tenemos
3
Integraremos esta función por sustitución.
Tomemos
Multipliquemos y dividamos nuestra integral por para no alterar su valor (esto se conoce como agregar un 1 algebraico), posteriormente sustituyamos y resolvamos
4
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar
en este caso y serán
y
Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que aparece la integral que deseamos calcular del lado izquierdo y del lado derecho pero con signo negativo, por lo tanto lo único que necesitamos hacer es despejar la integral que deseamos encontrar
5
Integraremos por sustitución.
Tomaremos
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
6
Para integrar esta función primero necesitamos simplificar dicha función, para esto recordemos la siguiente identidad trigonométrica
para resolver la integral
usaremos sustitución, tomemos
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral anterior obtenemos
7
Primero escribamos nuestra integral de una forma más agradable
Solo nos falta integrar
Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos
Por lo tanto
Así, sustituyendo en la integral original
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips
Realmente no entiendo por qué en el ejercicio número 7 la respuesta a la fracción parcial es un -2 y no 2, puesto que parece que multipilican el numerador por un -1, pero no le veo el sentido o razón. ¿Alguna ayuda?
Podemos escribir [latex]\frac-1-tt(t-1)=\fracAt+\fracBt-1[/latex] o [latex]-1-t=A(t-1)+Bt[/latex] entonces tomas t=0 y t=1, de esta manera encuentras los valores de A=1 y B=-2.
Excelente estos ejemplos que ayudan a entender el método de integración por sustitución
Excelente! considero que es un privilegio contar con profesionales como ustedes que nos apoyan para transitar con éxito los senderos de las matemáticas. Mil gracias!