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Vamos

Recordando la integral del seno

 

Recordemos que la derivada de la función es , esto nos dice directamente que la derivada de es . Ahora, la integral indefinida es considera la operación inversa a integrar, por lo tanto, se sigue que la integral de debe de ser , sin embargo, recordemos que la derivada de cualquier constante es cero, así que también se tiene que la derivada de también es , así, la antiderivada o integral de es, en realidad, , en otras palabras

 

 

También debemos de recordar la regla de la cadena, de donde se sigue que la derivada de es , así, también se sigue que

 

 

Ejercicios de integración de la función seno

 

Para estos ejercicios tendremos en cuenta que ya se conocen las propiedades básicas de integrales y que se tiene conocimiento de resolución de integrales por sustitución, por partes, etc. En caso de no recordar estos métodos te invitamos a ver nuestros artículos donde los explicamos.

 

1
 

Integraremos directamente

 

 

2
 

Integraremos por el método de sustitución.

 

Tomaremos

 

 

Sustituyendo en la integral tenemos

 

 

3
 

Integraremos esta función por sustitución.

 

Tomemos

 

 

Multipliquemos y dividamos nuestra integral por para no alterar su valor (esto se conoce como agregar un 1 algebraico), posteriormente sustituyamos y resolvamos

 

 

4
 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar

 

 

en este caso y serán

 

 

y

 

 

 

Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que aparece la integral que deseamos calcular del lado izquierdo y del lado derecho pero con signo negativo, por lo tanto lo único que necesitamos hacer es despejar la integral que deseamos encontrar

 

 

5
 

Integraremos por sustitución.

 

Tomaremos

 

 

y

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

6
 

Para integrar esta función primero necesitamos simplificar dicha función, para esto recordemos la siguiente identidad trigonométrica

 

 

 

para resolver la integral

 

 

usaremos sustitución, tomemos

 

 

Por lo tanto

 

 

Sustituyendo en la integral anterior obtenemos

 

 

7
 

Primero escribamos nuestra integral de una forma más agradable

 

 

Solo nos falta integrar

 

 

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

 

Por lo tanto

 

 

Así, sustituyendo en la integral original

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗