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Vamos

Deducción de la fórmula

 

Para calcular una integral de la forma

 

 

debemos recordar que la derivada de una función exponencial está dada por

 

 

Por lo tanto, la integral de se calcula mediante:

 

 

Así, concluimos que la fórmula de la integral para es

 

 

Para el caso particular, donde (número de Euler), tenemos

 

 

Por último, si es una función, entonces la fórmula con sustitución es

 

 

Y cuando la base es , tenemos

 

 

Observemos que debe estar multiplicando al diferencial.

 

Ejemplos

 

1 Calcula la siguiente integral

 

 

Observemos que la base del exponencial es . Asimismo, tenemos que . Como , entonces necesitamos multiplicar al diferencial por 2:

 

 

Con esto, ya podemos calcular la integral:

 

 

2 Determina la siguiente integral

 

 

Ahora, observemos que la base es 5. Además, el argumento de la exponencial es simplemente . Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula directamente con :

 

 

3 Calcula la siguiente integral de producto de exponenciales:

 

 

Recordemos que ya que tienen el mismo exponente. Por lo tanto, la integral se calcula como

 

 

Es importante notar que, aunque se podría llegar al mismo resultado utilizando la integral por partes, el procedimiento sería más tedioso.

 

4 Obtén la siguiente integral

 

 

Notemos que y que . Así, tenemos que , por lo que tenemos que multiplicar el diferencial por 3 (al mismo tiempo hay que dividir por 3 para que la función siga siendo la misma):

 

 

Por tanto, la integral es

 

 

5 Determina la siguiente integral

 

 

Hay dos maneras de terminar esta integral. La más sencilla es notar que , por lo tanto,

 

 

Notemos que el dominio de es . Por lo tanto, la solución también está restringida a este dominio.

 

Sin embargo, como estamos utilizando la fórmula de la integral exponencial, entonces también podemos utilizarla y debemos llegar al mismo resultado. En este caso, notemos que . Así, (el cuál ya está multiplicando al diferencial), es decir,

 

 

Por tanto,

 

 

pero, como , entonces tenemos

 

 

ya que .

 

6 Calcula la siguiente integral

 

 

Observemos que . Por lo tanto,

 

 

el cuál ya está multiplicando al diferencial. De este modo,

 

 

7 Determina la siguiente integral

 

 

Observemos que . Por tanto, esta integral es bastante sencilla si logramos recordar que

 

 

De este modo, la integral se vuelve

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗