Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

volumen

Ejemplos

1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:

y = sen xx = 0x = π

solución

2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

volumen

3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

esfera

integral

volumen de la esfera

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2/8 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.

Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

volumen

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

representación gráfica

Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

solución

5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:

1 Alrededor de su eje mayor.

2 Alrededor de su eje menor.

representación gráfica

Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

ecuación

primer volumen

ecuación

segundo volumen

6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

puntos de corte

representación gráfica

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

integral definida

solución