Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

integral

Ejemplos

1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 − 5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

sistema de ecuaciones

representación gráfica

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

integral

solución


2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

puntos de corte

gráfica

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

solución


3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

función cuadrática

vértice

función cuadrática

vértice

puntos de corte con los ejes

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

sistema de ecuaciones

representación gráfica

integral

solución


4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

vértice

ecuación

vértice

. Este corte con los ejes

puntos de corte

representación gráfica

área

área

área

área total


5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

punto de corte

representación gráfica

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

área