Área de una función y el eje de abscisas

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

integral definida

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

puntos de corte con los ejes

representación gráfica

En segudo lugar se calcula la integral:

área


2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

representación gráfica

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

punto de corte

integral

derivar

integrar

integral de indefinida

solución


2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

integral definida

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

puntos de corte con los ejes

representa gráfica

integral

solución


2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

función coseno

integral

solución


3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

ecuación

puntos de corte

representación gráfica

área

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

solución


2. Calcular el área del círculo de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

se conferencia

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

integral definida

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

integral indefinida

cambio de variable

cabe de variable

integral

operaciones

Hallamos los nuevos límites de integración.

carne variable

cambie variable

área

área del círculo





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