¡Bienvenidos a nuestra página donde las integrales y el cálculo de áreas cobran vida! Si alguna vez te has maravillado con la idea de medir superficies irregulares y curvas utilizando matemáticas avanzadas, estás en el lugar adecuado. En este espacio, exploraremos las herramientas poderosas que nos brindan las aplicaciones del cálculo integral para desentrañar los secretos de figuras geométricas complejas y sus áreas.

Desde áreas bajo curvas suaves, delimitadas por funciones, hasta superficies más intrincadas, te guiaremos a través de ejemplos prácticos y emocionantes para comprender cómo aplicar las integrales en el mundo real.

Prepárate para expandir tus horizontes matemáticos y desarrollar una nueva apreciación por la belleza y utilidad de las integrales. ¡Así que adelante, adéntrate en este emocionante mundo de áreas e integrales, y descubre cómo las matemáticas pueden revelar secretos sorprendentes! ¡Comencemos a calcular integrales y áreas juntos!

 

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Vamos

Ejercicios propuestos

 

1Hallar el área limitada por la recta , el eje y las rectas y .

1Representamos gráficamente las rectas y el eje indicados; también ubicamos el área solicitada

 

integrales y areas 1

 

2Los extremos del área solicitada están dados por las rectas y , por ello representamos la recta en función de la variable

 

 

3El área solicitada viene dada por

 

 

4Sustituimos en función de y resolvemos la integral definida

 

2Calcular el área del recinto limitado por la curva y el eje .

1Hallamos los puntos donde la curva corta al eje , ya que estos serán los límites de integración; para esto igualamos la curva a cero y encontramos los valores de

 

 

entonces son los puntos donde la curva corta al eje . La representación gráfica es

 

integrales y areas 2

 

2El área solicitada viene dada por

 

 

3Sustituimos en función de y resolvemos la integral definida

 

 

Como la parábola es simétrica respecto al eje , el área será igual al doble del área comprendida entre y

 

3Calcular el área del triángulo de vértices .

1Representamos gráficamente los puntos dados y ubicamos el área solicitada

 

integrales y areas 3

 

2Calculamos las pendientes de las rectas y y con ello las respectivas ecuaciones de las rectas

 

 

3El área solicitada viene dada en dos partes, una para cada recta

 

 

4Sustituimos las rectas en función de y resolvemos la integral definida

 

4Calcular el área limitada por las gráficas de e .

1Representamos gráficamente las curvas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 4

 

2Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de las curvas

 

 

entonces, y son los límites de integración.

 

3El área solicitada viene dada por la integral de la diferencia de ambas curvas

 

 

4Resolvemos la integral definida

 

5Calcular el área limitada por la curva , el eje y las rectas , .

1Representamos gráficamente las curvas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 5

 

2El área solicitada viene dada por

 

 

3Sustituimos en función de y resolvemos la integral definida

 

6Calcular el área limitada por la curva y la recta .

1Representamos gráficamente la curva y recta dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 6

 

2Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de las curvas

 

 

entonces, son los límites de integración.

 

3El área solicitada viene dada por la integral de la diferencia de ambas curvas

 

 

4Resolvemos la integral definida observando que el área es simétrica respecto al eje

 

7Calcular el área del recinto limitado por la parábola y la recta que pasa por los puntos y .

1Representamos gráficamente la curva y recta dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 7

 

2Calculamos la pendiente de la recta y su respectiva ecuación

 

 

3Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de las curvas

 

 

entonces, y son los límites de integración.

 

4El área solicitada viene dada por la integral de la diferencia de ambas curvas

 

 

5Resolvemos la integral definida

 

8Hallar el área limitada por las rectas y el eje de abscisas.

1Representamos gráficamente las rectas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 8

 

2El área solicitada viene dada por la integral de la región bajo el eje y la región por encima de dicho eje. La región bajo el eje tiene área negativa, por lo que consideramos su valor absoluto

 

 

3Resolvemos la integral definida

 

9Calcular el área limitada por la curva y el eje de abscisas.

1Representamos gráficamente la curva dada e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 9

 

2Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de la curva con el eje de las abcisas

 

 

entonces, y son los límites de integración.

 

3El área solicitada viene dada por la integral

 

 

4Resolvemos la integral definida

 

10Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y los ejes coordenados.

1Representamos gráficamente las curvas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 10

 

2El área solicitada viene dada por la integral

 

 

Observamos de la representación gráfica, que si integramos respecto a la variable , el cálculo se simplifica, para esto expresamos la curva en función de , esto es,

 

 

y el área solicitada se expresa

 

 

3Resolvemos la integral definida

 

11Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo .

1Representamos gráficamente la curva dada. Observamos que el área solicitada es igual a cuatro veces el área que se encuentra en el primer cuadrante

 

integrales y areas 11

 

2Expresamos la parte del círculo que se encuentra en el primer cuadrante en función de

 

 

3El área solicitada viene dada por

 

 

4Resolvemos la integral definida, para esto empleamos la sustitución trigonométrica cuya diferencial es y tiene por límites de integración a

 

 

Sustituimos los valores de en términos de

 

12Hallar el área de una elipse de semiejes y .

1Representamos gráficamente la elipse centrada en el origen y con los semiejes dados

 

 

integrales y areas 12

 

Observamos que el área solicitada es igual a cuatro veces el área que se encuentra en el primer cuadrante

 

2Expresamos la parte de la elipse que se encuentra en el primer cuadrante en función de

 

 

3El área solicitada viene dada por

 

 

4Resolvemos la integral definida, para esto empleamos la sustitución trigonométrica cuya diferencial es y tiene por límites de integración a

 

 

Sustituimos los valores de en términos de

 

13Calcular el área de la región del plano limitada por las raíces de la curva y el eje .

1Representamos analítica y gráficamente la curva y localizamos el área solicitada

 

 

integrales y areas 13

 

2Calculamos las raíces de la curva

 

 

entonces y son las raíces de la curva

 

3El área solicitada viene dada por

 

 

4Resolvemos la integral definida

 

14Hallar el área de la figura limitada por .

1Representamos analítica y gráficamente la curva y localizamos el área solicitada

 

integrales y areas 14

 

2Calculamos la intersección de la recta y la parábola

 

 

entonces y son las coordenadas de las abcisas donde se intersectan las dos curvas

 

3El área solicitada viene dada en dos partes. En la primera la recta se encuentra por encima de la parábola y en la segunda la parábola se encuentra por encima de la recta

 

 

Así, el área solicitada viene dada por

 

 

4Resolvemos las integrales definidas

 

15Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje .

1Encontramos la intersección con el eje

 

 

entonces y son las raíces, por los que los puntos de intersección son .

 

2Encontramos la ecuación de la recta tangente en

 

 

Encontramos la ecuación de la recta tangente en

 

 

La intersección e ambas rectas se encuentra en

 

3Representamos gráficamente la curva con las tangentes indicadas y localizamos el área solicitada

 

integrales y areas 15

 

4El área solicitada viene dada por en dos partes. En la primera la recta con pendiente positiva se encuentra por encima de la parábola y en la segunda la recta con pendiente negativa se encuentra por encima de la parábola

 

 

Así, el área solicitada viene dada por

 

 

5Resolvemos las integrales definidas

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗