Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas

1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x² y el eje OX.

3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y² = 4x e y = x².

5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

6.Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x²) y la recta y = −1.

7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

8. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9.Calcular el área limitada por la curva y = 6x² − 3x³ y el eje de abscisas.

10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x² + y² = 9.

12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x² − 4x + 3| y el eje OX.

14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x², y = x, x = 0, x = 2

15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x² y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

1

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

2

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x² y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

3

Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

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4

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y² = 4x e y = x².

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

5

Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

·

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6

Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x²) y la recta y = −1.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

7

Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

8

Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

9

Calcular el área limitada por la curva y = 6x² − 3x³ y el eje de abscisas.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

10

Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.

El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y = ln x es:

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11

·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x² + y² = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

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12

Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

13

Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x² − 4x + 3| y el eje OX.

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

14

Hallar el área de la figura limitada por: y = x², y = x, x = 0, x = 2

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

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15

Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x² y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):