Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas

1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.

5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

6.Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.

7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

8. Hallar el área limitada por la recta ecuación de la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9.Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.

14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2

15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

1

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

de presentación de la recta

área de la recta


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

2

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

ecuación

parábola

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

área de la curva

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

3

Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

ecuación de la recta

Ecuación de la recta que pasa por BC:

ecuación de la recta

representación gráfica

integrales

operaciones

solución


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

4

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.

sistema de ecuaciones

solución

representación gráfica

solución


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

5

Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

la gráfica·

solución


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

6

Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.

sistema de ecuaciones

representación gráfica

integral

solución


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

7

Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

ecuación de la recta

representación gráfica

sistema de ecuaciones

solución


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

8

Hallar el área limitada por la recta ecuación de la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

representación gráfica

integral

integral

solución


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

9

Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

ecuación

representación gráfica

área


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

10

Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

punto de corte

representación gráfica

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.

El área de rectángulo es base por altura.

área del rectángulo

El área bajo la curva y = ln x es:

integral definida

derivar

integrar

integral de indefinida

integral definida

área total


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

11

·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

circunferencia de radio 3

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

integral indefinida

cambio de variable

cabe de variable

integral

operaciones

Hallamos los nuevos límites de integración.

carne variable

cambie variable

área

área del círculo


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

12

Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

elipse

ecuación del elipse

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

área

integral indefinida

cambio de variable

cabe de variable

integral

operaciones

Hallamos los nuevos límites de integración.

carne variable

cambie variable

área del elipse


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

13

Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.

puntos de corte con los ejes

Función a trozos

representación gráfica

área


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

14

Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

sistema de ecuaciones

GRÁFICA

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

integral

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

integral

área total


Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

15

Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Puntos de intersección:

puntos de corte

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

pendiente

ecuación de la tangente

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

pendiente

ecuación de la tangente

representación gráfica

integrales

solución





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